Matematik Felsefesi Üzerine Bir Tartışma - Emre Kahvecioğlu

 

Matematik Felsefesi Üzerine Bir Tartışma - Emre Kahvecioğlu

Felsefenin diğer disiplinler ile ilişkisine felsefe tarihi boyunca sık bir biçimde rastlamaktayız. Bu bakımdan da felsefenin hem doğa bilimleri ile ilişkisinden hem de sosyal bilimlerle olan bağından bahsetmemiz mümkün. Bu yazıda da felsefe ve matematiğin ilişkisini anlamak için 20. yüzyılda ortaya çıkan "matematik felsefesi" isimli alan hakkındaki görüşleri ve yorumları eleştirel bir gözle değerlendirmeye çalışacağım. Yazının temel tartışması da matematik felsefesinin kapsamının, neliğinin ve işlevinin belirlenmesi üzerine olacaktır. Bu hedefi tamamlayabilmek adına da ilk olarak matematik felsefesi nedir sorusuna tarihsel bir cevap vererek araştırmama başlayacağım. Sonrasında ise temel tartışmaların üzerine detaylı araştırmalar getirerek bu sorunun kavramsal bir şekilde nasıl cevaplanabileceğine dair yanıtlar getirmeye çalışacağım.

Matematik felsefesinin bir alan olarak felsefe tarihindeki ortaya çıkışı 20. yüzyılı bulmaktadır. Fakat bu, daha öncesinde matematiğe felsefi bir gözle bakılmadığı ya da matematik ve felsefenin ortak sorunları olmadığı anlamına gelmemektedir. Gerek Platon'da gerekse Pre-sokratikler'de matematik felsefesine dair temel argümanları görmemiz mümkün. Örneğin Anaksimandros'un ἄπειρον (apeiron/sonsuz) kavramı matematikle beraber düşünülebilecek bir kavramdır ve Anaksimandros'un bu kavramı ἀρχή (arkhe/ilk ilke) olarak belirlemesi de önemli ayrımdır. Platon ise matematik felsefesi ile bugün anladığımız disipline benzer bir metodoloji yürüterek matematiksel nesnelerin (örneğin sayıların) ontolojik ve epistemolojik mahiyetleri üzerine uslamlamalarda bulunmuştur. Hem 20. yüzyılda hem de bugün ise Platoncu Realizm akımı matematik felsefesinin önemli bir dalı olarak karşımıza çıkmaktadır. Ortaçağ'a geldiğimizde ise sayıların kullanımına dair farklı tartışmalarla karşılaşmaktayız. Kimileri matematiksel nesneleri belirli ölçümler için kullanırken, örneğin astronomide, kimileri ise bunları gelecekten haber almak ya da bir tür mistisizm yapmak için kullanmaktaydı. Fakat bu dönem içindeki sonsuz kavramı üzerine olan tartışmalarda hem matematiksel hem de teolojik birtakım yönlerle karşılaşmamız da mümkündür.

Rönesans ve Aydınlanma dönemleri ile matematik felsefesinde ya da başka bir deyişle matematik ve felsefenin ilişkisinin güçlendiğini söyleyebiliriz. Özellikle de rasyonalist filozoflar olan Descartes, Leibniz ve Spinoza'yı incelediğimizde üçünün de sayıların ontolojisi ve epistemolojisi üzerine yorumlarda bulunduklarını ve dahası matematiksel bilginin mahiyeti üzerine çıkarımlar yaptıklarını görürüz. Bu bakımdan da incelememiz gereken diğer bir felsefi düşünüş ise empiristler olacaktır. Öyle ki 18. yüzyıldaki epistemoloji tartışmalarının temelinde yer alan analitik ve sentetik yargı tartışmalarının neredeyse her birinde matematiksel bilgiye yönelik bir çıkarım yapılmaktadır. İnsanın matematiksel nesneleri ve matematiksel bilgiyi nasıl kavradığına dair tartışmaların yürütüldüğü bu dönemde Immanuel Kant, sentetik a priori yargı tanımı ile matematiksel bilgimizin kavranmasına dair yeni ve çığır açıcı bir hamlede bulunmuştur. Bu hamleye 20. yüzyıla geldiğimizde yoğun eleştiriler yapılsa da matematiksel bilginin neliği üzerine kurulan matematik felsefenin kuruluşunda önemli bir hareket ettirici unsur olduğunun da altını çizmemizde fayda olacaktır. Bu bakımdan da matematik felsefesi tarihini negatif bir okuma ile de yorumlamak mümkünüdür; öyle ki matematik felsefesinin kuruluşunu bizzat Kant'ın sentetik a priori görüşüne bir karşı çıkış olarak okuyan matematik ve felsefe tarihçileri de vardır. Bu görüş, Frege'nin detaylı bir okuması yapılarak da güçlendirilebilecek türdendir.

Frege'nin Aritmetiğin Temelleri kitabını incelediğimizde, matematiği iki alanın ortak ismi olarak değerlendirmektedir: aritmetik ve geometri. Bu açıdan da matematik sentetik a priori yargılardan oluşan Kantçı teze karşılık, matematiği aritmetik ve geometri üzerinden ayrı ayrı değerlendirmeye çalışır. Kantçı terminoloji içinde kalarak da aritmetiğin kesinlikle sentetik apriori olmadığını; ancak analitik a priori olduğu sonucuna varacaktır.[1] Bu çıkarımın önemi de şudur: artık matematiğin, içinde sezgilerin olmadığı ve tamamıyla mantıksal çıkarımlardan oluşan bir alan olarak değerlendirilmeye çalışıldığı yeni bir dönem başlayacaktır. Frege'nin bu hamlesinin önemi ise yalnızca matematiksel bir hamle olmayıp daha çok felsefi bir hamle olarak değerlendirilmelidir. Çünkü burada bilim ve felsefe arasındaki farkların belirginleştiği ve de matematik gibi felsefenin de mantığa indirgenilmeye çalışılacağı yeni bir alanın önü açılacaktır: Mantıkçı Pozitivizm. Bu görüşle birlikte matematik felsefesine dair daha radikal yorumlar ortaya çıkmakla birlikte felsefenin de kapmasının daraltıldığı ve de bilimlerin felsefe üzerinde hakimiyet kurduğu farklı bir felsefe yapma tarzı ortaya çıkacaktır.

Buraya kadar anlatılan kısımdan genel bir matematik felsefesinin ya da felsefe ve matematik ilişkisinin tarihini serimlemiş olduk. Bu sayede de  matematiğin yıllar boyunca felsefe içindeki amacı ve yeri kaba bir çerçeve içinde gösterilmiş oldu. Fakat şimdi ise 20. yüzyıl içerisindeki matematik felsefesinin kapsam, nelik ve işlevi üzerine detaylı bir tartışma yürütülmesine başlanılabilecektir. Her ne kadar matematik felsefesi denilen alan ismini 20. yüzyılda kazanmış olsa da kendini örtük ya da açık bir biçimde geçmiş dönemlerde de gösterip bir felsefi araştırma konusu olmaktan uzak tutmamıştır.

İlk tartışmamız olan kapsam konusuna geldiğimizde de Paul Ernest'ün görüşlerinden bağımsız bir araştırma yapmak günümüz açısından pek de mümkün gözükmemektedir. Ernest, Lakatos ve Wittgenstein'ın yaklaşımını esas alarak matematik felsefesinin alanını genişleterek, onun 13 sorunla ilgilenmesi gerektiğini söyler.[2] Ernest'ün yapmış olduğu bu saptama ile matematik felsefesinin kapsamına dair detaylı bir açıklamaya da ulaşmış oluruz. Elbette burada 13 maddenin tamamını inceleyemeyeceğiz fakat bir kısmının üstünde detaylı bir şekilde durmamızda fayda var. Görünen o ki bu 13 sorunun ilk ikisi daha temel olup tarihin büyük bir bölümüne yayılan matematik felsefesinin temel problematiğini yansıtmaktadır, bu ilk iki sorun sırasıyla: matematiksel bilginin gerekçelendirilmesi ve matematiksel nesnelerin niteliği ve ontolojik konumunun saptanmasıdır. Bu iki sorunun iyi bir analizi bizlere matematik felsefesinin kapsamı hakkında oldukça detaylı çıkarımları serimleyecektir. İlk olarak, matematiksel bilginin gerekçelendirilmesi sorununu ele alırsak; burada ciddi bir epistemolojik tartışmayla karşı karşıya kaldığımızı ilk bakışta fark edeceğizdir. Çünkü bu soru 20. yüzyılın başından itibaren matematik felsefesinin temel tartışma alanının işgal etmektedir. Öyle ki bu problem üzerinden farklı düşünce ekollerinin ortaya çıktığını savunmak da mümkün, bu ekoller: mantıkçılık, formalizm, sezgicilik, Platoncu realizm ve natüralizm olarak sıralanabilir. Bu noktada dikkat etmemiz gereken temel nokta ise bu düşünce akımlarını temsil eden filozofların neredeyse hepsi aynı zamanda matematikçiydi. O halde buradaki problemin yalnız felsefi yani epistemolojik olmadığı ya da yalnızca bir matematik sorunu da olmadığı açıktır. Çünkü bu problem her iki alanın da yeterliliğinin kapsamı içine girmektedir. 20. yüzyılın başında matematikçilerin ve filozofların bir kısmından bu problem üzerine ya da bu problemin türevleri biçiminde başka problemler ortaya atıldığı için matematik felsefesi isimli yeni bir dalın zorunlu olarak ortaya çıktığını savunmamız mümkün.

Matematiksel bilginin gerekçelendirilmesine dair probleme bir yanıt olarak getirilen bu akımların kısaca anlatılması da problemin neden felsefi bir yön taşıdığının anlaşılmasında önemli bir etki olacaktır. Mantıkçılık ile felsefenin bütününe yayılmış yeni bir düşünce şekli doğacaktır ve burada da temel motivasyon felsefeyi de matematiği de mantıksal doğrulara indirgemek olacaktır. Matematik açısından düşündüğümüzde kulağa çok da gerip gelmeyen bu düşüncenin, felsefeyi de mantığa indirgeme çabası görece daha çok dikkat çekmiştir. Elbette dönemin bilim felsefesi ve epistemoloji tartışmalarında da mantıkçılığın öne çıkan bir akım olduğunu hatırlatmakta fayda var. Frege'nin bu konudaki saptamalarını anlamak da dönemi anlamak konusunda yolumuzu aydınlatacaktır. Zira Frege sayıların insan zihnindeki ideler olduğunu iddia eden psikolojizme, sayıların evrimleştiğini iddia eden tarihselciliğe ve sayıların dünyadaki nesneler olduğunu iddia eden empirizme karşı sert eleştiriler getirmiştir.[3] O halde buradan bu görüşlerin birbirleri içinde bir uyumu olmadığını ve belli bakımlardan da birbirlerine yanıt olarak ortaya çıktıklarını söyleyebiliriz. Mantıkçılığın her şeyi mantığa indirgeyen görüşünün yanında formalizm görüşü matematiğin yalnızca kağıt üzerindeki işaretlerden ibaret olduğunu ve matematiğin konusunun da yalnızca bu işaretler olduğunu savunmaktadır. O halde formalizm için matematiksel bilginin gerekçelendirilmesi yalnızca kağıt üzerinde ve belirli işaretleri kullanarak olabilecek bir şeydir dememiz gerekir.

Gerekçelendirme problemini açıklarken fark edildiği üzere, matematik felsefesindeki ontolojik ve epistemolojik problemler birbirinden pek de ayrılabilir değillerdir. Yukarıda da görüldüğü üzere epistemoloji üzerine açıklamalar yaparken ontolojik açıklamalara değinmemiz gerekti. Bu nedenle de geriye kalan sezgicilik, Platoncu realizm ve natüralizm görüşlerini hem epistemolojik hem de ontolojik mahiyetleri ile açıklayarak, Ernest'ün sunduğu soruların ilk ikisine verilen cevapları aynı anda değerlendirebileceğiz. Sezgiciliği mantıkçılığın belli bakımlardan karşıtı olarak düşünmeye yönelik eğilimler çoktur, çünkü sezgicilik matematiksel bilginin temelinde bilişsel sezgi olduğunu savunacaktır. Bu açıdan da bu görüşün Kantçı bir görüş olduğunu da söylememiz gerekir. O halde bu epistemolojik tanımın kendisinden de sezgicilik için matematiksel nesnelerin de bilişsel nesneler olduğu sonucuna tanım gereği ulaşmamız kolay olacaktır. Platoncu realizm ise sezgiciliğin zıttı olarak yorumlanmaya daha açıktır, çünkü matematiksel doğruları insan zihninden bağımsız varlıkların bilgisi olarak görür. O halde burada matematiksel nesnelerin idealar dünyasına ait kavramlarmış gibi düşünüldüğü açıktır. Bu bakımdan da modern bir Platonculukla karşılaştığımız söylenebilir. Natüralizme geldiğimizde ise gerekçelendirmenin ne mantık ne de sezgiyle olabileceğini, ancak bilimsel araştırma ve bütünlük sonucunda matematiksel bir gerekçelendirilmeye varılacağını düşünen bir sistemle karşılaşırız. Bu düşüncede de önde gelen isimlerden biri hiç şüphesiz Quine'dır. Ontoloji bakımından da anlatmak gerekirse; Quine, matematiksel nesnelerin bilimin gerektirdiği ölçüde var olduklarını söylemektedir. Quine için "var olmak, bir değişkenin değeri olmaktır" denilebilir.[4] O halde bir matematiksel nesne ancak bir teoremin ya da başka bir matematiksel tümcenin parçası olduğu şekliyle anlamlıdır ve de vardır. Bu şekilde de bu görüşün hem ontolojik hem de epistemolojik olarak sezgicilikten ve mantıkçılıktan bir kopuş olduğunu söyleyebiliriz.

 İkinci tartışmamız olan nelik tartışmamız için de Rauben Hersh'ün sorularından yola çıkarak parçalı bir araştırma sunabiliriz. Hersh de tıpkı Ernest gibi bir dizi soru sıralar ve matematik felsefesi olma iddiasında olan her felsefe ekolünün bu soruların hepsine tutarlı cevaplar vermesi gerektiğini düşünür. Hersh'ün sıraladığı bu yedi soruyu anlamamız matematik felsefesinin ne olduğunu da iyi anlamamız anlamına gelecektir. bu sorular sırasıyla: (1) matematiği diğer beşer bilgilerinden farklı kılan şeyler nelerdir, (2) matematik ne hakkındadır veya matematiğin konusu nedir, (3) matematik hakkında evrensele yakın bir uzlaşı niçin vardır, (4) matematiksel bilgiyi nasıl elde edebiliriz, (5) matematikçinin sosyal olaylardan etkilenmesine rağmen, matematik niçin zaman, mekan ve ırk gibi değişik unsurlardan bağımsızdır, (6) sonsuz var mıdır ve (7) soyut ve pür matematik, "gerçek" dünyada nasıl bu kadar karşılık bulabilmekte ve kullanışlı olabilmektedir.[5] Bu soruların üzerine daha önce bahsettiğimiz akımlar hattından yanıtlar çıkarmaya çalıştığımızda göreceğimiz şudur; elimizde olan hiçbir matematik felsefesi şu an için bu yedi sorunun her birine doyurucu bir cevap verebilmekte değildir. O halde buradaki sorun akımların yetersiz olması mıdır yoksa matematik felsefesinin neliği ile mi alakalı bir sorundur, diye bir sorun ortaya atılabilir. Bu yedi soru üzerinden matematik felsefesinin neliğine dair önemli bir saptamaya sahip oluruz, o da matematik felsefesinin ne olmadığına dair bir saptamadır. Başka bir deyişle, matematik felsefesi bu yedi soruya yanıt arayan bir alan olarak karşımıza çıkar ve farklı dalları bu soruları farklı şekillerde yorumlayarak yeni yorumlar getirir. Fakat öyle bir alan yoktur ki bu yedi sorunun hepsine de bütünlüklü ve yeterli bir yanıt verebilsin. Bu sonuç ile de varılması gereken yanıt şudur; matematik felsefesi için tek bir dal yoktur. Başka bir deyişle artık bir matematik felsefecisi sadece sezgici bir bakışla felsefi bir bakış yakalayamaz. Bu sorulardan belli bir kısmında sezgici olabilir fakat hepsinde sezgicilik işe yarayamayacağı için görüş değiştirip bir Platoncu realist ya da mantıkçı bile olabilir.

Bu tartışma matematik felsefesinin neliği konusundan gerçekten önemlidir, çünkü görüşlerin esnek bir biçimde kullanılması ile sorgulanan soruların hepsine bütünlüklü bir yanıt sunulabilmektedir. Bunun bir sebebi de bu yedi sorunun kapsam kümesi, matematik felsefesinin bütün dallarıyla ortak bir kümeye sahip değildir. Bunu şu şekilde de açıklayabiliriz; bu yedi sorudan birini seçelim, bu sorunun yanıtı olabilecek şeyler kümesi matematik felsefesinin bütün dallarında ortak olan bir şey olamayacaktır. Bu da çok açıktır, çünkü matematik felsefesinin dallarının hepsinde ortak olabilecek bir konu yoktur; hepsi sayıların varlığı ile ontolojik olarak ilgilenmez, hepsi sonsuz üzerine bütünlüklü bir yanıt bulmaya çalışmaz vb. O halde buradan da şu sonuca varabiliriz: Matematik felsefesi kendi alt dalları arasında geçirgenliği zorunlu tutacak bir felsefe disiplinidir ve bunu yapmasının nedeni de her bir alt dalın bütünlüklü bir araştırma için gerekli olacak unsurları kendi içinde farklı bir biçimde barındırıyor olmasıdır.

Son olarak matematik felsefesinin işlevinden de bahsederek kapsamlı bir inceleme sunmuş olacağız. Bu araştırma için de kapsam ve nelik tartışmasından elde ettiğimiz sonuçlar kullanışlı olacaktır, çünkü şimdiye kadar ki araştırmaların sonuçlarında örtük bir biçimde işlev tartışmasına da değinmiştik. Fakat araştırmamızın hedefi doğrultusunda yeniden değinmemizde fayda var. İlk olarak matematik felsefesi ile matematiğin işlevlerini birbirinden ayırmamız bu araştırma için önemlidir. Matematik kendi sistemi içerisinde olanları, kendi sistemi içindeki yönetimlerle çözüm bulmaya çalışır; eğer eldeki sistem belli bir yerde iş görmüyorsa yeni bir sistem kurulur fakat bu sistemin elemanları yine eski sistemden parçalar taşır ya da bizzat eski sistemin elemanları olurlar. Matematik felsefesinin amacı ise bu değildir, onun işe yarayacağı alan bir matematik hipotezinin çözümü değildir ya da bir teoremin kanıtlanması da değildir. Onun kullanıldığı alan adeta bir meta-matematik alanıdır, başka bir deyişle de matematiğin dışından matematiğe bakarak belli şeyleri belirleme çabasıdır. Örneğin sayıların ne olduğunu bir matematikçi sorgulamaz, onlar için sayılar birer araçtan ibarettir. Fakat sayıların varlığı konusu ya da nasıl bilinebileceği konusu tam olarak matematik felsefesinin konusudur.

 Başka bir açıdan değerlendirirsek de sonsuz kavramının ele alınışına bakabiliriz. Matematik açısından sonsuz, bazen sadece bir simge bazense varılmaya çalışılan bir hedef gibi kullanılır. Fakat felsefenin sonsuzu ele alışı başkadır, burada başka ile yalnızca ele alış biçimi olarak bir başkalık değil, kavramsal olarak da bir başkalık kastedilmektedir. Çünkü felsefe açısından sonsuz; belirsiz, ezeli, mutlak, başı sonu olmayan gibi anlamlara gelebilmektedir. Tam olarak matematik felsefesinin işlevsel yanı da burada ortaya çıkmaktadır; iki farklı alanda, farklı biçimlerde alımlanan bir kavramın ortak bir nosyon olarak düşünülmesini sağlamaya çalışır. İşte belki de matematik felsefesinin bu işlevi onun en çok dikkat çeken yönü olabilir. Çünkü iki disiplini birbirine bağlayarak ortak kavramlar üzerinden yeni anlamların yaratılmasını sağlayacak bir hedefi vardır.

 Sonuç olarak, matematik ve felsefe ilişkisinin genel bir tarihçesini inceleyip bu iki disiplinin ilişkisinin incelenmesi ile ortaya çıkan bir alan olan matematik felsefesini detaylı bir şekilde araştırmaya çalıştık. Bunu yapabilmek için de onun kapsamı üzerine detaylı bir incelemede bulunup, neliği ve işlevi üzerine de saptamalarda bulunduk. Bunlarla birlikte matematik felsefesinin bugüne değin gerçekleştirmeye çalıştığı çalışmalar ile gelecekte hedefleyebileceği çalışmalar üzerine de değinilerek onun ne olduğuna dair bir araştırma yapılmış oldu.

***

Dipnotlar

[1] Frege, G. (2008) Aritmetiğin Temelleri, çev. H. Bülent Gözkan, YKY.

[2] Gür, Bekir S. (2019) Matematik Felsefesi, FOL Yayınları.

[3] A.g.e.

[4] Quine, W.V.O. (2023) Ontolojik Görelilik ve Diğer Makaleler içinde "Neyin Varolduğu Üzerine" der. ve çev. Egemen Seyfettin Kuşçu, Dergah Yayınları.

[5] Gür, Bekir S. (2019) Matematik Felsefesi, FOL Yayınları.

***

Yazar: Emre Kahvecioğlu

Emre Kahvecioğlu, Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Felsefe bölümü lisans öğrencisidir. 

İletişim: emrekahvecioğlu25@gmail.com